통계적 우연과 확률

우연과 확률

● 우연 또는 운명 : 우리는 우연의 세계에 살고 있음 - 우연 : 통제할 수 없는 일, 예측 불가능한 일, 불확실한 일들

 

● 확률

- 우연한 사건도 수많은 사건 중 하나로 보고 전체적으로 살펴보면 일정한 규칙이 있음 ⇒ 이러한 규칙은 확률로 표현 - 확률은 우연 세계에서 질서를 찾는 길을 안내

- 확률은 0과 1사이의 값으로 표현되는데 0에 가까우면 일어나기 어려운 일, 1에 가까우면 매일 발생하는 일을 의미

- 특별한 사건별로 일정한 확률을 가지게 되며 이를 수학적으로 확률분포로 표현

 

● 확률의 고전적 정리(Laplace :1749-1827) N개의 원소로 구성된 표본공간    ⋯에서 각각의 근원사상이 일어날 가능성이 같 다는 가정 하에 m개의 원소로 구성된 사건 A의 확률을     로 정의함

- 문제점 ① 유한표본공간에서만 정의됨 ② 각 결과가 나타날 가능성이 동일해야 함. 정보사회의통계활용 - 2 - - 예제) 3개의 불량품과 1개의 양호품이 들어 있는 상자에서 2개의 제품을 단순랜덤추출할 때, 1개의 양호품과 1개의 불량품이 나올 확률을 구하여라.

(풀이) 불량품을 각각 로, 양호품을 라 하면, - 표본공간           - 1개의 양호품과 1개의 불량품이 나올 사건은        - 이 경우 어떤 2개의 제품이 뽑힐 가능성은 모두 같다고 할 수 있으므로     

● 확률의 공리적 정의(Kolmogorov:1903-1987) 표본공간 S에서 임의의 사건 A에 대하여 ①  ≦≦ ②    ③ 서로 배반인   ⋯에 대하여 ∪∪⋯     ∞ 을 만족할 때 를 사건  의 확률이라 함.

 

● 예제1. 동전던지기와 확률 : 동전던지기는 확률을 이해하는데 필요한 중요한 실험 - 동전던지기를 반복할수록 앞면이 나올 확률은 1/2로 수렴 - 우리에게 닥치는 여러 일들은 우연히 나타나는 것으로 보이지만 수없이 반복해서 나타나 면 그 일들은 일정한 확률을 가지게 됨

● 예제2. 생명보험과 확률 : 보험회사는 생명표를 바탕으로 보험료를 산정 - 생명표를 바탕으로 어떤 사람이 사망할 확률이 0.001 이라고 하자. 이때 보험회사는 생명 보험금 1,000만원의 보험상품을 관리비용, 준비금, 이익 등을 고려해서 1만원보다 큰 금액 의 보험료로 판매.

● 예제3. 물리학과 우연 - 17세기 뉴턴은 운동의 법칙, 만유인력의 법칙을 발전시키면서 고전물리학을 정립했다. 그 이후 200년동안 자연현상이 기계적으로 움직인다고 생각. 우연이라는 요소는 세상을 이해 하는데 부수적인 요인 - 20세기초 닐스모어, 베르너, 하이젠베르크 등은 원자에 대해 연구하면서 양자역학의 법칙 을 발견 : 우연은 근본적 요소라는 사실을 발견